Euclid, Elements |
More(57) |
(Greek)
(English, ed. Thomas L. Heath, Sir Thomas Little Heath)
|
|
book 1, type Prop, number 12: ... ἡ
ΓΘ .
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΘΕ , κοινὴ δὲ ἡ ΘΓ ,
δύο δὴ αἱ ΗΘ , ΘΓ δύο ταῖς ΕΘ , ΘΓ ἴσαι |
book 1, type Prop, number 12: ... ἡ
ΓΘ .
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΘΕ , κοινὴ δὲ ἡ ΘΓ ,
δύο δὴ αἱ ΗΘ , ΘΓ δύο ταῖς ΕΘ , ΘΓ ἴσαι |
book 1, type Prop, number 22: ... ἡ ΖΗ , τῇ δὲ Γ ἴση ἡ ΗΘ : καὶ κέντρῳ
μὲν τῷ Ζ , διαστήματι δὲ τῷ... : πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ Η , διαστήματι δὲ τῷ ΗΘ
κύκλος γεγράφθω ὁ ΚΛΘ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ...
κέντρον ἐστὶ τοῦ ΛΚΘ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΗΚ :
ἀλλὰ ἡ ΗΘ τῇ Γ ἐστιν ἴση: καὶ ἡ ΚΗ |
book 1, type Prop, number 38: ... καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς
ΒΖ , ΗΘ : καί ἐστι τοῦ μὲν ΗΒΓΑ παραλληλογράμμου
ἥμισυ τὸ |
book 1, type Prop, number 45: ... ἐστιν ἴση
τῇ Ε : καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΗΘ
εὐθεῖαν τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον
τὸ ... δύο ὀρθαῖς ἴσαι
εἰσίν. πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΗΘ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ
τῷ Θ |
book 2, type Prop, number 1: ... τοῦ Η τῇ ΒΓ παράλληλος
ἤχθω ἡ ΗΘ , διὰ δὲ τῶν Δ , Ε , Γ |
book 2, type Prop, number 11: ... ΑΖ τετράγωνον τὸ ΖΘ , καὶ διήχθω
ἡ ΗΘ ἐπὶ τὸ Κ : λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ |
book 2, type Prop, number 14: ... ΔΕ
ἐπὶ τὸ Θ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ .
ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΒΖ τέτμηται ... ΗΖ τετραγώνῳ. ἴση δὲ ἡ ΗΖ τῇ
ΗΘ : τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕ , ΕΖ μετὰ... ἀπὸ τῆς ΗΕ
ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ . τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΘ ἴσα ἐστὶ τὰ
ἀπὸ τῶν ΘΕ , ΕΗ |
book 3, type Prop, number 11: ... ΖΗ : λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΗ
λοιπῆς τῆς ΗΘ μείζων ἐστίν. ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ : καὶ
ἡ ΗΔ ἄρα τῆς ΗΘ μείζων ἐστὶν ἡ ἐλάττων
τῆς μείζονος: ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον |
book 4, type Prop, number 2: ... ἐγγράψαι.
ἤχθω τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτομένη ἡ ΗΘ κατὰ τὸ
Α, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΘ |
book 4, type Prop, number 7: ...
ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου αἱ ΖΗ ,
ΗΘ , ΘΚ , ΚΖ .
ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται ... καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΗ , παράλληλος
ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΑΓ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ
καὶ ... ΑΓ τῇ ΖΚ ἐστι παράλληλος. ὥστε
καὶ ἡ ΗΘ τῇ ΖΚ ἐστι παράλληλος.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι... ἡ μὲν ΗΖ τῇ ΘΚ , ἡ δὲ ΗΘ τῇ ΖΚ . καὶ
ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ... ΒΔ , ἀλλὰ καὶ ἡ μὲν ΑΓ ἑκατέρᾳ
τῶν ΗΘ , ΖΚ , ἡ δὲ ΒΔ ἑκατέρᾳ τῶν ... , ΘΚ ἐστιν
ἴση καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΗΘ , ΖΚ ἑκατέρᾳ τῶν ΗΖ ,
ΘΚ ἐστιν |
book 4, type Prop, number 8: ... ΗΕ . ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΗΘ ,
ΗΚ ἑκατέρᾳ τῶν ΖΗ , ΗΕ ἐστιν ἴση: αἱ τέσσαρες ἄρα
αἱ ΗΕ , ΗΖ , ΗΘ , ΗΚ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . ὁ ἄρα
κέντρῳ |
book 4, type Prop, number 12: ... Γ , Δ ,
Ε ἤχθωσαν τοῦ κύκλου ἐφαπτόμεναι αἱ ΗΘ , ΘΚ , ΚΛ ,
ΛΜ , ΜΗ , |
book 5, type Prop, number 3: ... Α , Γ ἰσάκις πολλαπλάσια
τὰ ΕΖ , ΗΘ : λέγω, ὅτι
ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ
ΕΖ τοῦ Β καὶ τὸ ΗΘ τοῦ Δ .
ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον
τὸ ΕΖ τοῦ Α καὶ τὸ
ΗΘ τοῦ Γ , ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν
τῷ ... ΕΖ ἴσα τῷ Α , τοσαῦτα καὶ
ἐν τῷ ΗΘ ἴσα τῷ Γ . διῃρήσθω
τὸ μὲν ΕΖ ... μεγέθη ἴσα τὰ ΕΚ , ΚΖ , τὸ δὲ ΗΘ εἰς τὰ τῷ Γ ἴσα
τὰ ΗΛ ... ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον
καὶ ἕκτον τὸ ΗΘ τετάρτου τοῦ Δ .
ἐὰν ἄρα πρῶτον |
book 5, type Prop, number 8: ... ΖΗ
τοῦ ΑΕ , τοσαυταπλάσιον γεγονέτω
καὶ τὸ μὲν ΗΘ τοῦ ΕΒ
τὸ δὲ Κ τοῦ ... πολλαπλάσιον
τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ , ἰσάκις ἄρα
ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ... ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια.
πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ καὶ
τὸ Κ τοῦ ... ΕΒ τῷ Γ , ἴσον ἄρα καὶ τὸ ΗΘ τῷ
Κ: τὸ δὲ Κ τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλαττον: οὐδ᾽ ἄρα τὸ ΗΘ τοῦ
μ ἔλαττόν ἐστιν. μεῖζον δὲ τὸ ΖΗ... ποτὲ τοῦ Δ μεῖζον.
πεπολλαπλασιάσθω, καὶ ἔστω
τὸ ΗΘ πολλαπλάσιον μὲν
τοῦ ΕΒ , μεῖζον δὲ τοῦ Δ :
καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΗΘ
τοῦ ΕΒ , τοσαυταπλάσιον γεγονέτω
καὶ τὸ μὲν |
book 5, type Prop, number 15: ... εἰς τὰ
τῷ Γ ἴσα τὰ ΑΗ , ΗΘ , ΘΒ , τὸ
δὲ ΔΕ εἰς τὰ τῷ... ΛΕ : ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος
τῶν ΑΗ , ΗΘ , ΘΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΚ , ΚΛ , ΛΕ . καὶ
ἐπεὶ ἴσα ἐστὶ τὰ ΑΗ , ΗΘ , ΘΒ ἀλλήλοις, ἔστι δὲ καὶ τὰ
ΔΚ... τὸ ΑΗ πρὸς
τὸ ΔΚ , οὕτως τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΚΛ , καὶ τὸ ΘΒ πρὸς |
book 5, type Prop, number 17: ... , ΕΒ , ΓΖ , ΖΔ ἰσάκις
πολλαπλάσια τὰ ΗΘ , ΘΚ , ΛΜ , ΜΝ , τῶν δὲ ... ΝΠ .
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ
καὶ τὸ ΘΚ τοῦ ΕΒ , ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ
ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ . ἰσάκις δέ ἐστι πολλαπλάσιον
τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ... κοινοῦ ἀφαιρεθέντος
τοῦ ΘΚ ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΚΞ . ἀλλὰ εἰ ὑπερεῖχε
τὸ ΗΚ ... ΛΜ τοῦ ΝΠ : ὥστε εἰ ὑπερέχει τὸ
ΗΘ τοῦ ΚΞ , ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΜ τοῦ... ΝΠ . ὁμοίως δὴ
δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ ΗΘ τῷ ΚΞ , ἴσον ἔσται καὶ
τὸ ΛΜ |
book 6, type Prop, number 1: ... ΒΓ βάσει ἴσαι
ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΒΗ , ΗΘ , τῇ δὲ ΓΔ βάσει ἴσαι
ὁσαιδηποτοῦν αἱ ... καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΓΒ , ΒΗ , ΗΘ ἀλλήλαις, ἴσα
ἐστὶ καὶ τὰ ΑΘΗ , ΑΗΒ |
book 6, type Prop, number 12: ... Γ ἴση ἡ ΔΘ :
καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΗΘ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω διὰ
τοῦ Ε ἡ ... ΔΕΖ παρὰ μίαν τὴν ΕΖ ἦκται
ἡ ΗΘ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΗ πρὸς τὴν |
book 6, type Prop, number 18: ... τὴν ΗΒ , οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΗΘ καὶ
ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΘΒ . ἐδείχθη...
τὴν ΑΒ καὶ ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΗΘ καὶ ἔτι ἡ ΕΔ πρὸς τὴν
ΘΒ |
book 6, type Prop, number 20: ... ΑΒ πρὸς ΒΓ , οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΘ , δι᾽
ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ , οὕτως ἡ ΛΗ πρὸς
ΗΘ , καὶ περὶ τὰς ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΒΓ ... ΑΒ πρὸς ΒΓ , οὕτως ἡ ΖΗ
πρὸς ΗΘ , ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΖΗΘ |
book 6, type Prop, number 22: ... εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ , ΓΔ ,
ΕΖ , ΗΘ , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν
ΗΘ , καὶ ἀναγεγράφθωσαν ἀπὸ μὲν τῶν
ΑΒ , ΓΔ ... ΚΑΒ , ΛΓΔ , ἀπὸ δὲ
τῶν ΕΖ , ΗΘ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα
εὐθύγραμμα τὰ ΜΖ ... τρίτη ἀνάλογον ἡ Ξ ,
τῶν δὲ ΕΖ , ΗΘ τρίτη ἀνάλογον ἡ Ο . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς... τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ , ὡς
δὲ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν Ξ , οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν Ο , δι᾽ ἴσου
ἄρα ἐστὶν ὡς... τὴν
ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ . εἰ γὰρ μή ἐστιν, ὡς ἡ
ΑΒ πρὸς |
book 6, type Prop, number 25: ... εἰλήφθω τῶν ΒΓ , ΓΖ μέση
ἀνάλογον ἡ ΗΘ , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΗΘ τῷ ΑΒΓ
ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον ... καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΗΘ , οὕτως ἡ ΗΘ
πρὸς τὴν ΓΖ , ἐὰν δὲ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον |
book 6, type Prop, number 29: ... Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ αὐτὸ
συνεστάτω τὸ ΗΘ . ὁμόλογος δὲ ἔστω ἡ μὲν ΚΘ τῇ ... ΚΗ τῇ ΖΕ . καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΘ τοῦ ΖΒ ,
μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν... συμπεπληρώσθω
τὸ ΜΝ : τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΗΘ ἴσον τέ ἐστι καὶ
ὅμοιον. ἀλλὰ τὸ ΗΘ τῷ ΕΛ ἐστιν ὅμοιον: καὶ τὸ ΜΝ ... καὶ
καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΘ τοῖς ΕΛ , Γ , ἀλλὰ τὸ ΗΘ τῷ
ΜΝ ἴσον ἐστίν, καὶ τὸ ΜΝ |
book 7, type Prop, number 8: ... .
κείσθω γὰρ τῷ ΑΒ ἴσος ὁ ΗΘ . ἃ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ
ΗΘ τοῦ ΓΔ , τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ .
διῃρήσθω ὁ μὲν ΗΘ εἰς τὰ τοῦ ΓΔ
μέρη τὰ ΗΚ |
book 7, type Prop, number 15: ... ΒΓ εἰς τὰς ἐν ἑαυτῷ μονάδας τὰς ΒΗ , ΗΘ , ΘΓ ,
ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ... ΛΖ . ἔσται
δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ , ΗΘ , ΘΓ τῷ πλήθει τῶν
ΕΚ , ΚΛ... , ΛΖ . καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΒΗ , ΗΘ , ΘΓ
μονάδες ἀλλήλαις, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ... ἀλλήλοις, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ , ΗΘ ,
ΘΓ μονάδων τῷ πλήθει τῶν ΕΚ , ... μονὰς πρὸς τὸν ΕΚ ἀριθμόν, οὕτως
ἡ ΗΘ μονὰς πρὸς τὸν ΚΛ ἀριθμὸν καὶ ἡ |
book 10, type Prop 1, number 25: ... ἴσον παρὰ τὴν ΖΗ παραβεβλήσθω
ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον
τὸ ΗΘ πλάτος
ποιοῦν τὴν ΖΘ , τῷ δὲ ΑΓ ... , καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν
ΑΔ τῷ ΗΘ , τὸ δὲ ΒΕ τῷ ΝΛ , μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον
τῶν ΗΘ , ΝΛ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΗ παράκειται... ΑΔ τῷ ΒΕ , σύμμετρον
ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΗΘ τῷ ΝΛ . καί ἐστιν ὡς τὸ ΗΘ πρὸς
τὸ ΝΛ , οὕτως ἡ ΖΘ ... ΓΞ . ἴσον δέ ἐστι τὸ μὲν ΑΔ τῷ ΗΘ , τὸ δὲ ΑΓ τῷ ΜΚ ,
τὸ δὲ ΓΞ τῷ ΝΛ : ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΜΚ ,
οὕτως τὸ ΜΚ |
book 10, type Prop 1, number 26: ... ῥητὴν
τὴν ΕΖ παράκειται: ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ
καὶ σύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει. ἀλλὰ καὶ ἡ... μήκει: ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ
ΗΘ μήκει. καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΗΘ , οὕτως τὸ ἀπὸ
τῆς ΕΗ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΗ , ΗΘ : ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ
τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΗ , ΗΘ . ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς
ΕΗ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ , ΗΘ τετράγωνα: ῥητὰ
γὰρ ἀμφότερα: τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΕΗ , ΗΘ σύμμετρόν ἐστι τὸ
δὶς ὑπὸ τῶν ΕΗ , |
book 10, type Prop 1, number 41: ... δὶς ὑπὸ
τῶν ΑΒ , ΒΓ ἴσον τὸ ΗΘ : ὅλον ἄρα τὸ
ΔΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ... ΑΒ , ΒΓ , ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΔΖ τῷ ΗΘ : ὥστε καὶ
ἡ ΔΗ τῇ ΗΚ ἀσύμμετρός |
book 10, type Prop 2, number 50: ... τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς
τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ : σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ
τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ . ῥητὴ δὲ ἡ ΖΗ : ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΗΘ .
καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ ... τετράγωνον ἀριθμόν: ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν
ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει. αἱ ΖΗ , ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει
μόνον σύμμετροι: ἡ ΖΘ ... τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ , δι᾽ ἴσου ἄρα ἐστὶν
ὡς ὁ Δ πρὸς... τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ
τῆς ΗΘ . ὁ δὲ Δ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον |
book 10, type Prop 2, number 53: ... τὸ ἀπὸ
τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ . σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ
τῆς ΖΗ τῷ ... τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον
ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν:
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει. αἱ ΖΗ , ΗΘ
ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι: ἐκ δύο ἄρα... τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ ,
δι᾽ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Δ πρὸς... τὸ ἀπὸ
τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ . ὁ δὲ Δ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον... ἀπὸ τῆς Ε ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ
λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
ἀριθμόν: ἀσύμμετρος |
book 10, type Prop 2, number 54: ... Ζ ὁποτέρᾳ τῶν
ΑΒ , ΓΔ παράλληλοι αἱ ΗΘ , ΕΚ , ΖΛ : καὶ τῷ μὲν ΑΘ |
book 10, type Prop 2, number 55: ... Ζ παράλληλοι ἤχθωσαν ταῖς ΑΒ , ΓΔ αἱ ΗΘ , ΕΚ ,
ΖΛ , καὶ τῷ μὲν ΑΘ |
book 10, type Prop 2, number 57: ... ΗΕ
μήκει. ἤχθωσαν παράλληλοι τῇ ΑΒ αἱ ΗΘ , ΕΚ , ΖΛ ,
καὶ τὰ λοιπὰ τὰ αὐτὰ |
book 10, type Prop 2, number 81: ... δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ἴσον τὸ ΗΘ : ἀσύμμετρον
ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΗ |
book 10, type Prop 3, number 87: ... ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον πρὸς
τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν... ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ , σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ
τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ . ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ : ῥητὸν
ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ : ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ . καὶ
ἐπεὶ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ ... τὸ ἀπὸ τῆς
ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος
ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν: ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν
ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί: αἱ ΖΗ ,
|
book 10, type Prop 3, number 90: ...
τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ
τῆς ΗΘ .
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ Ε ... τὸ ἀπὸ
τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ , σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ
τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ . ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ : ῥητὸν
ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ : ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΗΘ . καὶ ἐπεὶ
ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ... τὸ ἀπὸ
τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος
ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν: ἀσύμμετρος
ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί:
αἱ ΖΗ , |
book 10, type Prop 3, number 108: ... ἴσον παρὰ
τὴν ΖΗ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον
τὸ ΗΘ , τῷ δὲ ΔΒ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΗΚ ... ΒΔ , ἴσον δὲ τὸ μὲν ΒΓ τῷ ΗΘ , τὸ δὲ ΒΔ
τῷ ΗΚ , ῥητὸν μὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘ , μέσον δὲ τὸ ΗΚ .
καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν |
book 10, type Prop 3, number 110: ... ἐστι τὸ ΒΓ τῷ ΒΔ , τουτέστι τὸ
ΗΘ τῷ ΗΚ , ἀσύμμετρος καὶ ἡ ΘΖ τῇ |
book 11, type Prop, number 4: ... , ΘΕΖ γωνιῶν. ἡ ΖΕ ἄρα πρὸς τὴν ΗΘ
τυχόντως διὰ τοῦ Ε ἀχθεῖσαν ὀρθή ἐστιν. |
book 11, type Prop, number 9: ... ΕΖ , ΑΒ ἐπιπέδῳ πρὸς
ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΗΘ , ἐν δὲ τῷ διὰ τῶν ΖΕ , ΓΔ ... ΗΚ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖ πρὸς ἑκατέραν
τῶν ΗΘ , ΗΚ ὀρθή ἐστιν, ἡ ΕΖ ἄρα καὶ τῷ διὰ
τῶν ΗΘ , ΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. καί ἐστιν ἡ |
book 11, type Prop, number 11: ... Ζ σημείου τῇ ΒΓ
παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ .
καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΓ ἑκατέρᾳ τῶν ... ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς
ἐστιν. καί ἐστιν αὐτῇ παράλληλος ἡ ΗΘ : ἐὰν δὲ ὦσι δύο
εὐθεῖαι παράλληλοι, ἡ δὲ ... λοιπὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται:
καὶ ἡ ΗΘ ἄρα τῷ διὰ τῶν ΕΔ , ΔΑ ἐπιπέδῳ... τῶν ΕΔ , ΔΑ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν
ἡ ΗΘ . ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΑΖ οὖσα ἐν τῷ διὰ τῶν ΕΔ ,
ΔΑ ἐπιπέδῳ: ἡ ΗΘ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὴν ΖΑ : ὥστε
καὶ... ΔΕ ὀρθή: ἡ ΑΖ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ΗΘ ,
ΔΕ ὀρθή ἐστιν. ἐὰν δὲ εὐθεῖα δυσὶν εὐθείαις... : ἡ ΖΑ ἄρα τῷ διὰ τῶν
ΕΔ , ΗΘ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. τὸ δὲ διὰ τῶν |
book 11, type Prop, number 14: ... συμπεσοῦνται. συμπιπτέτωσαν:
ποιήσουσι δὴ κοινὴν τομὴν εὐθεῖαν. ποιείτωσαν
τὴν ΗΘ , καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΗΘ τυχὸν σημεῖον τὸ Κ ,
καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ |
book 11, type Prop, number 15: ... Η τῇ μὲν
ΕΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ , τῇ
δὲ ΕΖ ἡ ΗΚ . καὶ ἐπεὶ... ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ αὐτῆς
ἑκατέρα τῶν ΗΘ , ΗΚ οὖσα ἐν τῷ διὰ τῶν ΔΕ ... γωνιῶν.
καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΑ τῇ ΗΘ , αἱ ἄρα
ὑπὸ ΗΒΑ , ΒΗΘ γωνίαι δυσὶν... αὐτὰ δὴ ἡ ΒΗ καὶ τῷ διὰ τῶν ΗΘ , ΗΚ
ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. τὸ δὲ διὰ τῶν ΗΘ , ΗΚ ἐπίπεδόν
ἐστι τὸ διὰ τῶν ΔΕ |
book 11, type Prop, number 16: ... τεμνέσθω, κοιναὶ δὲ αὐτῶν τομαὶ ἔστωσαν
αἱ ΕΖ , ΗΘ : λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΗΘ .
εἰ γὰρ μή, ἐκβαλλόμεναι αἱ ΕΖ , ΗΘ ἤτοι ἐπὶ τὰ Ζ , Θ
μέρη ἢ... διὰ τὸ παράλληλα
ὑποκεῖσθαι: οὐκ ἄρα αἱ ΕΖ , ΗΘ εὐθεῖαι ἐκβαλλόμεναι
ἐπὶ τὰ Ζ , Θ μέρη συμπεσοῦνται. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι
αἱ ΕΖ , ΗΘ εὐθεῖαι οὐδὲ ἐπὶ τὰ Ε , Η μέρη...
παράλληλοί εἰσιν. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΗΘ .
ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα παράλληλα ὑπὸ ἐπιπέδου |
book 11, type Prop, number 17: ... αἱ ΑΒ , ΓΔ ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων
τῶν ΗΘ , ΚΛ , ΜΝ τεμνέσθωσαν κατὰ τὰ Α ... . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐπεὶ
δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΗΘ , ΚΛ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ
ΑΞΖΓ τέμνεται, αἱ |
book 11, type Prop, number 22: ... αἱ ΑΒ , ΒΓ , ΔΕ ,
ΕΖ , ΗΘ , ΘΚ εὐθεῖαι, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ , ... τῶν ΑΒ , ΒΓ , ΔΕ , ΕΖ , ΗΘ , ΘΚ ἴση ἡ ΘΛ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν
αἱ... ὑπὸ
ΔΕΖ μείζων ἐστίν. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΗΘ , ΘΛ δύο ταῖς ΔΕ ,
ΕΖ |
book 11, type Prop, number 23: ... αἱ ΑΒ , ΒΓ , ΔΕ , ΕΖ , ΗΘ , ΘΚ ,
καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ , ΔΖ ... ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΒΓ , ΔΕ , ΕΖ ,
ΗΘ , ΘΚ , τῇ δὲ ΡΛ ἴση ἑκατέρα τῶν... τῶν ΑΒ , ΒΓ , ΔΕ , ΕΖ , ΗΘ , ΘΚ ἑκάστῃ τῶν ΡΛ ,
ΡΜ , |
book 11, type Prop, number 37: ... εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ , ΓΔ , ΕΖ ,
ΗΘ , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ ,
καὶ ἀναγεγράφθωσαν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΓΔ , ΕΖ , ΗΘ ὅμοιά
τε καὶ ὁμοίως κείμενα στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ... τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν
ΗΘ . καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς
τὴν ΗΘ . καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΚ πρὸς τὸ ... τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ .
ἐπεὶ γὰρ πάλιν τὸ ΚΑ πρὸς ... ΝΗ τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ , καί
ἐστιν ὡς τὸ ΚΑ πρὸς τὸ |
book 12, type Prop, number 2: ... ΕΖΗΘ κύκλου. τετμήσθωσαν δίχα αἱ ΕΖ ,
ΖΗ , ΗΘ , ΘΕ περιφέρειαι κατὰ τὰ Κ , Λ ... καὶ ἀναπληρώσωμεν
τὰ ἐπὶ τῶν ΕΖ , ΖΗ , ΗΘ , ΘΕ εὐθειῶν παραλληλόγραμμα,
ἕκαστον τῶν ΕΚΖ , |
book 12, type Prop, number 3: ... Λ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν
αἱ ΘΕ , ΕΗ , ΗΘ , ΘΚ , ΚΛ , ΛΘ , ΚΖ , |
book 12, type Prop, number 11: ... τὸ ἥμισυ τοῦ κύκλου. ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΕΖ
ΗΘ τετραγώνου πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ: ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα
πυραμὶς... τῆς περιγραφείσης πυραμίδος. τετμήσθωσαν αἱ
ΕΖ , ΖΗ , ΗΘ , ΘΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ο , |
book 12, type Prop, number 12: ... τοῦ κώνου. τετμήσθωσαν
δὴ αἱ ΕΖ , ΖΗ , ΗΘ , ΘΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ
τὰ Ο , |
book 12, type Prop, number 13: ... ἄξονα.
κύλινδρος γὰρ ὁ ΑΔ ἐπιπέδῳ τῷ ΗΘ τετμήσθω παραλλήλῳ
ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις τοῖς ΑΒ , ΓΔ , καὶ
συμβαλλέτω τῷ ἄξονι τὸ ΗΘ ἐπίπεδον κατὰ τὸ Κ σημεῖον:
λέγω, ὅτι ἐστὶν |
book 12, type Prop, number 14: ... κύλινδρος
πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν
ΚΛ ἄξονα.
Ἐκβεβλήσθω ... ἄξων ἐπὶ τὸ Ν σημεῖον, καὶ
κείσθω τῷ ΗΘ ἄξονι ἴσος ὁ ΛΝ , καὶ περὶ ἄξονα τὸν... ΕΒ κυλίνδρῳ, ὁ δὲ ΛΝ ἄξων τῷ ΗΘ
ἄξονι: ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ
κύλινδρον, οὕτως ὁ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα. ὡς δὲ
ὁ... πρὸς τὸν ΓΔΚ κῶνον. καὶ ὡς ἄρα ὁ ΗΘ ἄξων
πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα, οὕτως ὁ |
book 13, type Prop, number 4: ... ἀπὸ
τῶν ΑΒ , ΒΓ τετράγωνα, τὸ δὲ ΗΘ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον.
τὰ ἄρα ἀπὸ |
book 13, type Prop, number 15: ... ΗΜ , ΘΝ μιᾷ τῶν ΕΖ , ΖΗ , ΗΘ , ΘΕ ἴση ἑκάστη
τῶν ΕΚ , ΖΛ |
book 13, type Prop, number 16: ... ΕΖΗΘΚ , καὶ τετμήσθωσαν
αἱ ΕΖ , ΖΗ , ΗΘ , ΘΚ , ΚΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ |
|
|