Euclid, Elements |
More(132) |
(Greek)
(English, ed. Thomas L. Heath, Sir Thomas Little Heath)
|
|
book 1, type Def, number 22: τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν
ἐστιν, ὃ ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες
|
book 1, type Def, number 22: τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν
ἐστιν, ὃ ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες
|
book 1, type Prop, number 46: ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τετράγωνον ἀναγράψαι.
ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ : δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας
τετράγωνον ἀναγράψαι.
ἤχθω τῇ ΑΒ εὐθείᾳ ἀπὸ τοῦ... ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ . ἐδείχθη
δὲ καὶ ἰσόπλευρον.
τετράγωνον ἄρα ἐστίν: καί ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας
|
book 1, type Prop, number 47: ... ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν
γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς
ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον... ΒΑΓ γωνίαν: λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον
ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ τετραγώνοις.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ
ΒΔΕΓ , ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ , ΑΓ... : τοῦ
δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ
ΗΒ τετράγωνον: βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι
τὴν ΖΒ...
ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ.
ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν ΑΕ , ΒΚ δειχθήσεται |
book 1, type Prop, number 48: ... ἐὰν τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετράγωνον
ἴσον ᾖ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν
τετραγώνοις, ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ
τριγώνου δύο ... τοῦ ΑΒΓ τὸ ἀπὸ μιᾶς τῆς ΒΓ πλευρᾶς
τετράγωνον ἴσον ἔστω τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ πλευρῶν
τετραγώνοις: λέγω, ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία. ... ΑΒ , ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ
τῆς ΔΑ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ. κοινὸν
προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον: τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν
ΔΑ , ΑΓ τετράγωνα |
book 2, type Prop, number 2: ... τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον
ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ὅλης τετραγώνῳ.
εὐθεῖα γὰρ ἡ ΑΒ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν... περιεχομένου ὀρθογωνίου
ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ ,
καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Γ ... ἐστι τὸ μὲν ΑΕ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον,
τὸ δὲ ΑΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ , ... , ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ.
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ... τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον
ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ὅλης τετραγώνῳ: ὅπερ ἔδει
δεῖξαι. |
book 2, type Prop, number 3: ... τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ
καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ προειρημένου τμήματος τετραγώνῳ.
εὐθεῖα γὰρ ἡ ΑΒ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν... ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ
μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνου.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον τὸ ΓΔΕΒ ,
καὶ διήχθω ἡ ΕΔ ἐπὶ... : τὸ δὲ ΔΒ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον: τὸ
ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ περιεχόμενον ... ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ μετὰ
τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνου.
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ... τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ
καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ προειρημένου τμήματος τετραγώνῳ:
ὅπερ ἔδει δεῖξαι. |
book 2, type Prop, number 4: ... ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης
τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν τμημάτων τετραγώνοις
καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ
ὀρθογωνίῳ.
... τὸ Γ . λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς
τε ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν
ΑΓ , ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ ,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ , καὶ... ὀρθογώνιον ἄρα
ἐστὶ τὸ ΓΗΚΒ : ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον: τετράγωνον
ἄρα ἐστίν: καί ἐστιν ἀπὸ τῆς ΓΒ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ
ΘΖ τετράγωνόν ἐστιν: καί ἐστιν ἀπὸ τῆς ΘΗ , τουτέστιν
|
book 2, type Prop, number 5: ... τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον
μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου
ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ.
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω εἰς... ΔΒ
περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνου
ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον τὸ ΓΕΖΒ ,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ , καὶ... ΔΒ περιεχομένῳ
ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ. ἀλλὰ ὁ
ΜΝΞ γνώμων καὶ τὸ ΛΗ ὅλον ἐστὶ τὸ ΓΕΖΒ τετράγωνον,
ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΓΒ : τὸ ἄρα ὑπὸ |
book 2, type Prop, number 6: ... καὶ τῆς προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ
ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς συγκειμένης
ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης τετραγώνῳ.
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω δίχα... ΔΒ περιεχόμενον
ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου
ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον τὸ ΓΕΖΔ ,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ , καὶ ... ΛΗ , ὅ ἐστιν
ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ: τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ ,
ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου
ἴσον ἐστὶ τῷ ΝΞΟ γνώμονι καὶ τῷ ΛΗ |
book 2, type Prop, number 8: ... τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον
μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνου ἴσον
ἐστὶ τῷ ἀπό τε τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος ὡς
ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ.
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω, ὡς... ΒΓ περιεχόμενον
ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου
ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ , ΒΓ ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι
τετραγώνῳ.
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἐπ᾽ εὐθείας τῇ ΑΒ ... ἴση ἡ ΒΔ , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς
ΑΔ τετράγωνον τὸ ΑΕΖΔ , καὶ καταγεγράφθω
διπλοῦν τὸ σχῆμα.
... ΞΘ , ὅ
ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ: τὸ ἄρα τετράκις
ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ
ΑΓ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤΥ γνώμονι καὶ τῷ ΞΘ |
book 2, type Prop, number 9: ... ἴσα καὶ ἄνισα, τὰ ἀπὸ
τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων τετράγωνα διπλάσιά ἐστι
τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν
τομῶν τετραγώνου.
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω εἰς... : λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ
τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν
ΑΓ , ΓΔ τετραγώνων.
ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ... ΓΕ : τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΓ ,
ΓΕ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΓ . τοῖς δὲ ἀπὸ
... , ΓΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ τετράγωνον: ὀρθὴ
γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ γωνία: τὸ ἄρα ... ΗΖ : τὰ ἄρα ἀπὸ
τῶν ΕΗ , ΗΖ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΖ
τετραγώνου. τοῖς |
book 2, type Prop, number 10: ... σὺν τῇ προσκειμένῃ
καὶ τὸ ἀπὸ τῆς προσκειμένης τὰ συναμφότερα τετράγωνα
διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ... τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης
ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντος τετραγώνου.
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω δίχα... : λέγω, ὅτι
τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά
ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΔ
τετραγώνων.
ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ... ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ τετράγωνον
τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ: τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΓ ,
ΓΑ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνου.
τοῖς |
book 2, type Prop, number 11: ... τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον
εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ.
ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ : δεῖ... τμημάτων
περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ
τμήματος τετραγώνῳ.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΒΔΓ ,
καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα ... ἴση ἡ ΕΖ , καὶ ἀναγεγράφθω
ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον τὸ ΖΘ , καὶ διήχθω
ἡ ΗΘ ἐπὶ ...
περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ποιεῖν τῷ ἀπὸ
τῆς ΑΘ τετραγώνῳ.
ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται δίχα... ΖΑ περιεχόμενον
ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ τετραγώνου
ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετραγώνῳ. ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ
ΕΒ : τὸ |
book 2, type Prop, number 12: ... ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ἀμβλεῖαν
γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον μεῖζόν ἐστι
τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν
τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν
... ἡ ΒΔ . λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ
τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ τετραγώνων
τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ , ΑΔ περιεχομένῳ ... ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ
τῶν ΓΑ , ΑΔ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ , ΑΔ
... τε
ἀπὸ τῶν ΓΑ , ΑΔ , ΔΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς
ὑπὸ τῶν ΓΑ , ΑΔ ... ἀπὸ τῆς
ΑΒ : τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ
τῶν ΓΑ , ΑΒ |
book 2, type Prop, number 13: ... ὀξυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀξεῖαν
γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἔλαττόν ἐστι
τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ὀξεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν
τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ
τὴν... ΑΔ :
λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον ἔλαττόν
ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΒ , ΒΑ τετραγώνων τῷ δὶς
ὑπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ περιεχομένῳ ... τὸ
Δ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ
τε δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ ... ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ
ἀπὸ τῆς ΔΓ τετραγώνῳ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς
ΔΑ τετράγωνον: τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ , ΔΑ |
book 2, type Prop, number 14: τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον συστήσασθαι.
ἔστω τὸ δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ Α : δεῖ δὴ τῷ Α εὐθυγράμμῳ
ἴσον τετράγωνον συστήσασθαι.
συνεστάτω γὰρ τῷ Α εὐθυγράμμῳ ἴσον... ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν. συνέσταται γὰρ τῷ
Α εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον τὸ
ΒΔ : εἰ δὲ οὔ, μία τῶν ... ΕΖ περιεχόμενον
ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΗ τετραγώνου
ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ τετραγώνῳ. ἴση δὲ ἡ ΗΖ τῇ
ΗΘ : τὸ... ἴσα ἐστὶ τὰ
ἀπὸ τῶν ΘΕ , ΕΗ τετράγωνα: τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕ , ΕΖ
μετὰ ... , ΕΗ . κοινὸν
ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΗΕ τετράγωνον: λοιπὸν ἄρα
τὸ ὑπὸ τῶν ΒΕ , ΕΖ |
book 3, type Prop, number 35: ... ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον
μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΗ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς
ΗΓ : κοινὸν |
book 3, type Prop, number 36: ... σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον
τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τετραγώνῳ.
κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον... περιεχόμενον ὀρθογώνιον
ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ τετραγώνῳ.
ἡ ἄρα Δ ΓΑ ἤτοι διὰ ... καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον
τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τετραγώνῳ: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. |
book 4, type Prop, number 6: εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον ἐγγράψαι.
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ : δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔ
κύκλον τετράγωνον ἐγγράψαι.
ἤχθωσαν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου δύο διάμετροι... ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράπλευρον.
ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον: τετράγωνον ἄρα
ἐστίν. καὶ ἐγγέγραπται εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον.
εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον ἐγγέγραπται
τὸ ΑΒΓΔ : ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. |
book 4, type Prop, number 7: περὶ τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον περιγράψαι.
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ : δεῖ δὴ περὶ τὸν
ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον περιγράψαι.
ἤχθωσαν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου δύο διάμετροι... ὀρθογώνιον ἄρα
ἐστὶ τὸ ΖΗΘΚ . ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον: τετράγωνον
ἄρα ἐστίν. καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον.
περὶ τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον τετράγωνον περιγέγραπται:
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. |
book 4, type Prop, number 8: εἰς τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλον ἐγγράψαι.
ἔστω τὸ δοθὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ : δεῖ δὴ εἰς τὸ
ΑΒΓΔ τετράγωνον κύκλον ἐγγράψαι.
τετμήσθω ἑκατέρα τῶν ΑΔ , ... ἐφάψεται ἄρα αὐτῶν
καὶ ἔσται ἐγγεγραμμένος εἰς τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον.
εἰς ἄρα τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλος ἐγγέγραπται:
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. |
book 4, type Prop, number 9: περὶ τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλον περιγράψαι.
ἔστω τὸ δοθὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ : δεῖ δὴ περὶ τὸ
ΑΒΓΔ τετράγωνον κύκλον περιγράψαι.
ἐπιζευχθεῖσαι γὰρ αἱ ΑΓ , ... τῶν λοιπῶν σημείων
καὶ ἔσται περιγεγραμμένος περὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον.
περιγεγράφθω ὡς ὁ ΑΒΓΔ .
περὶ τὸ δοθὲν ἄρα τετράγωνον κύκλος περιγέγραπται:
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. |
book 4, type Prop, number 10: ... περιεχόμενον ὀρθογώνιον
ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ
τετραγώνῳ: καὶ κέντρῳ τῷ Α καὶ
διαστήματι τῷ ΑΒ |
book 6, type Prop, number 17: ... τῶν ἄκρων
περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης
τετραγώνῳ: κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον
ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ, αἱ τρεῖς
εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται.
ἔστωσαν τρεῖς ... περιεχόμενον ὀρθογώνιον
ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς
β τετραγώνῳ.
κείσθω τῇ Β ἴση ἡ Δ ...
περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β τετραγώνῳ.
ἀλλὰ δὴ τὸ ὑπὸ τῶν Α , ... τῶν ἄκρων
περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης
τετραγώνῳ: κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον
ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι
ἀνάλογον ἔσονται: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. |
book 6, type Prop, number 30: ... λόγον τεμεῖν.
Ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΒΓ , καὶ
παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΓ ... εἴδει τῷ ΑΔ ὁμοίῳ τῷ
ΒΓ .
τετράγωνον δέ ἐστι τὸ ΒΓ : τετράγωνον ἄρα ἐστὶ καὶ
τὸ ΑΔ . καὶ ἐπεὶ ἴσον |
book 7, type Def, number 18: τετράγωνος ἀριθμός ἐστιν ὁ ἰσάκις ἴσος ἢ ὁ ὑπὸ
|
book 8, type Prop, number 2: ... τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς,
οἱ ἄκροι αὐτῶν τετράγωνοί εἰσιν, ἐὰν δὲ τέσσαρες, κύβοι. |
book 8, type Prop, number 11: δύο τετραγώνων ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν
ἀριθμός, καὶ ὁ τετράγωνος πρὸς τὸν τετράγωνον διπλασίονα
λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν.
ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , καὶ τοῦ μὲν ... τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω. καὶ
ἐπεὶ τετράγωνός ἐστιν ὁ Α , πλευρὰ δὲ αὐτοῦ ἐστιν ὁ |
book 8, type Prop, number 14: ἐὰν τετράγωνος τετράγωνον μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ
τὴν πλευρὰν μετρήσει: καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν
μετρῇ, καὶ ὁ τετράγωνος τὸν τετράγωνον μετρήσει.
ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ
α, Β , πλευραὶ δὲ αὐτῶν ... ὁ Α τὸν Β .
ἐὰν ἄρα τετράγωνος τετράγωνον μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ
τὴν πλευρὰν μετρήσει: καὶ ἐὰν |
book 8, type Prop, number 16: ἐὰν τετράγωνος ἀριθμὸς τετράγωνον ἀριθμὸν μὴ
μετρῇ, οὐδὲ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει: κἂν ἡ
πλευρὰ τὴν πλευρὰν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ὁ τετράγωνος τὸν
τετράγωνον μετρήσει.
῎εστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ Α ,
Β, πλευραὶ δὲ αὐτῶν ἔστωσαν |
book 8, type Prop, number 22: ... ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ πρῶτος
τετράγωνος ᾖ, καὶ ὁ τρίτος τετράγωνος ἔσται.
ἔστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον
οἱ ... Β , Γ , ὁ δὲ πρῶτος ὁ Α τετράγωνος
ἔστω: λέγω, ὅτι καὶ ὁ τρίτος ὁ Γ τετράγωνός
ἐστιν.
ἐπεὶ γὰρ τῶν Α , Γ ... , οἱ Α , Γ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν. τετράγωνος δὲ ὁ
Α: τετράγωνος ἄρα καὶ ὁ Γ : ὅπερ ἔδει δεῖξαι. |
book 8, type Prop, number 24: ... ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν, ὃν
τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ὁ δὲ
πρῶτος τετράγωνος ᾖ, καὶ ὁ δεύτερος τετράγωνος ἔσται.
δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α , Β πρὸς ἀλλήλους λόγον ἐχέτωσαν,
ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς ὁ Γ πρὸς τετράγωνον ἀριθμὸν
τὸν Δ , ὁ δὲ Α τετράγωνος ἔστω: λέγω, ὅτι καὶ ὁ Β τετράγωνός
ἐστιν. |
book 8, type Prop, number 26: ... οἱ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν,
ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
ἔστωσαν ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α ... ὁ Α πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς
τετράγωνον ἀριθμόν.
ἐπεὶ γὰρ οἱ Α , Β ... : οἱ ἄρα
ἄκροι αὐτῶν οἱ Δ , Ζ τετράγωνοί εἰσιν. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς
ὁ Δ πρὸς ... τὸν Β , καί εἰσιν οἱ Δ , Ζ
τετράγωνοι, ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος
ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν: ὅπερ ἔδει
δεῖξαι. |
book 9, type Prop, number 1: ... δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες
ἀλλήλους ποιῶσί τινα, ὁ γενόμενος τετράγωνος ἔσται.
ἔστωσαν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι
ἀριθμοὶ οἱ ... πολλαπλασιάσας
τὸν Γ ποιείτω: λέγω, ὅτι
ὁ Γ τετράγωνός ἐστιν.
ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας
τὸν Δ ποιείτω. ὁ Δ ἄρα τετράγωνός ἐστιν.
ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας... , Γ εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει
ἀριθμός. καί ἐστι τετράγωνος ὁ Δ : τετράγωνος ἄρα καὶ
ὁ Γ : ὅπερ ἔδει δεῖξαι. |
book 9, type Prop, number 2: ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσι
τετράγωνον, ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί.
ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ... Β , καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας
τετράγωνον τὸν Γ ποιείτω: λέγω, ὅτι οἱ Α , ... ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω: ὁ Δ
ἄρα τετράγωνός ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας
... Δ πρὸς τὸν
Γ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τετράγωνός ἐστιν, ἀλλὰ
καὶ ὁ Γ , οἱ Δ , |
book 9, type Prop, number 8: ... ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον
ὦσιν, ὁ μὲν τρίτος ἀπὸ τῆς μονάδος τετράγωνος ἔσται
καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες, ὁ δὲ τέταρτος κύβος ... οἱ δύο
διαλείποντες πάντες, ὁ δὲ ἕβδομος κύβος ἅμα καὶ τετράγωνος
καὶ οἱ πέντε διαλείποντες.
ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ... ὁ μὲν τρίτος ἀπὸ τῆς
μονάδος ὁ Β τετράγωνός ἐστι
καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες,
ὁ δὲ τέταρτος... πάντες, ὁ
δὲ ἕβδομος ὁ Ζ κύβος ἅμα καὶ
τετράγωνος καὶ οἱ πέντε διαλείποντες
πάντες.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν... ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β
πεποίηκεν: τετράγωνος ἄρα ἐστὶν ὁ Β . καὶ ἐπεὶ οἱ Β... Γ ,
Δ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ δὲ Β τετράγωνός ἐστιν, καὶ ὁ Δ
ἄρα τετράγωνός ἐστιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ζ |
book 9, type Prop, number 9: ... τὸ συνεχὲς
ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα τετράγωνος
ᾖ, καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοι ἔσονται. καὶ ἐὰν ὁ
μετὰ τὴν μονάδα κύβος ᾖ, ... Ζ , ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α
τετράγωνος ἔστω: λέγω, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοι
ἔσονται.
ὅτι μὲν οὖν ὁ τρίτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Β τετράγωνός
ἐστι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες, δέδεικται: λέγω
δή , ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοί εἰσιν. ἐπεὶ γὰρ
οἱ Α , Β , Γ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστιν ὁ Α τετράγωνος,
καὶ ὁ Γ ἄρα τετράγωνός ἐστιν. πάλιν, |
book 9, type Prop, number 10: ... ἀνάλογον
ὦσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα μὴ ᾖ τετράγωνος, οὐδ᾽ ἄλλος
οὐδεὶς τετράγωνος ἔσται χωρὶς τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆς
μονάδος καὶ τῶν ... δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α
μὴ ἔστω τετράγωνος: λέγω, ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς τετράγωνος
ἔσται χωρὶς τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν... .
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὁ Γ
τετράγωνος. ἔστι δὲ καὶ ὁ Β
τετράγωνος: οἱ Β , Γ ἄρα
πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν,
ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς
τετράγωνον ἀριθμόν. καί ἐστιν
ὡς ὁ Β |
book 9, type Prop, number 13: ... Θ, Η ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Α τετραγώνῳ. ἔστιν ἄρα ὡς
ὁ Θ πρὸς τὸν Α |
book 10, type Def 1, number 2: ... εὐθεῖαι δυνάμει σύμμετροί εἰσιν, ὅταν τὰ ἀπ᾽
αὐτῶν τετράγωνα τῷ αὐτῷ χωρίῳ μετρῆται, ἀσύμμετροι
δέ, ὅταν τοῖς ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνοις μηδὲν ἐνδέχηται
χωρίον κοινὸν μέτρον γενέσθαι. |
book 10, type Def 1, number 4: ... καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς προτεθείσης εὐθείας τετράγωνον
ῥητόν, καὶ τὰ τούτῳ σύμμετρα ῥητά, τὰ δὲ τούτῳ ἀσύμμετρα
ἄλογα καλείσθω, καὶ αἱ δυνάμεναι αὐτὰ ἄλογοι, εἰ
μὲν τετράγωνα εἴη, αὐταὶ αἱ πλευραί, εἰ δὲ ἕτερά τινα
εὐθύγραμμα, αἱ ἴσα αὐτοῖς τετράγωνα ἀναγράφουσαι. |
book 10, type Prop 1, number 9: τὰ ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα πρὸς
ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
ἀριθμόν: καὶ τὰ τετράγωνα τὰ πρὸς ἄλληλα λόγον
ἔχοντα, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν,
καὶ τὰς πλευρὰς ἕξει μήκει συμμέτρους. τὰ δὲ ἀπὸ
τῶν μήκει ἀσυμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα πρὸς ἄλληλα
λόγον οὐκ ἔχει, ὅνπερ τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς |
book 10, type Prop 1, number 10: ... Β , Γ πρὸς ἀλλήλους
λόγον μὴ ἔχοντες, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
ἀριθμόν, τουτέστι μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι, καὶ γεγονέτω ὡς
ὁ... τὸν Γ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α
τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ τετράγωνον:
ἐμάθομεν γάρ: σύμμετρον
ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α ... Β πρὸς τὸν Γ λόγον οὐκ
ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς
τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ᾽ ἄρα τὸ ἀπὸ
τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς
πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν: ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ
Α |
book 10, type Prop 1, number 16: ...
ἐὰν παρά τινα εὐθεῖαν παραβληθῇ παραλληλόγραμμον
ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, τὸ παραβληθὲν ἴσον ἐστὶ τῷ
ὑπὸ τῶν ἐκ τῆς... ΑΒ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον
τὸ ΑΔ ἐλλεῖπον εἴδει
τετραγώνῳ τῷ ΔΒ : λέγω, ὅτι ἴσον
ἐστὶ τὸ ... , ΓΒ .
καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν: ἐπεὶ
γὰρ τετράγωνόν ἐστι τὸ ΔΒ , ἴση ἐστὶν
ἡ ΔΓ |
book 10, type Prop 1, number 17: ... ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ
ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ
μήκει, ἡ μείζων τῆς ... ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα
παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν
διαιρεῖ μήκει.
ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι... Α , ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ
παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ,
καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΔΓ... ΔΓ περιεχόμενον
ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ
τῷ ἀπὸ τῆς ΕΓ τετραγώνῳ: καὶ τὰ τετραπλάσια: τὸ ἄρα
τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΔ... ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ τετράκις ἀπὸ τῆς ΕΓ τετραγώνῳ.
ἀλλὰ τῷ μέν τετραπλασίῳ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΔΓ ἴσον ἐστὶ
τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον, τῷ δὲ τετραπλασίῳ τοῦ ἀπὸ τῆς
ΔΕ ἴσον |
book 10, type Prop 1, number 18: ... ἀπὸ
τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον
εἴδει τετραγώνῳ, καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ μήκει ,
ἡ μείζων ... ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ
ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ
μήκει .
῎εστωσαν ... Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ
παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ,
καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ , ἀσύμμετρος δὲ
... Α ἴσον παρὰ
τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ
ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΔΓ . |
book 10, type Prop 1, number 19: ... ΑΓ .
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον
τὸ ΑΔ : ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ .
|
book 10, type Prop 1, number 20: ... ΒΑ μήκει.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον
τὸ ΑΔ : ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ |
book 10, type Prop 1, number 21: ... δὲ μέση.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ :
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ . ...
ἡ δυναμένη τὸ ΑΓ τουτέστιν ἡ ἴσον αὐτῷ
τετράγωνον δυναμένη ἄλογός ἐστιν, καλείσθω
δὲ μέση: ὅπερ ἔδει δεῖξαι... , ΕΗ .
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΖΕ τετράγωνον τὸ ΔΖ ,
καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΗΔ . ἐπεὶ |
book 10, type Prop 1, number 24: ... μέσον ἐστίν.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον
τὸ ΑΔ : μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ . |
book 10, type Prop 1, number 25: ... .
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τετράγωνα τὰ ΑΔ ,
ΒΕ : μέσον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον |
book 10, type Prop 1, number 26: ... σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ , ΗΘ τετράγωνα: ῥητὰ
γὰρ ἀμφότερα: τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΕΗ , |
book 10, type Prop 1, number 28: ... περιέχουσαι: ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
λῆμμα
εὑρεῖν δύο τετραγώνους ἀριθμούς, ὥστε καὶ τὸν
συγκείμενον ἐξ αὐτῶν εἶναι τετράγωνον.
Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΒ , ΒΓ ... καὶ οἱ ΑΒ , ΒΓ ἤτοι
ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἢ τετράγωνοι, οἳ καὶ αὐτοὶ ὅμοιοί εἰσιν
ἐπίπεδοι: ὁ ἄρα ἐκ... , ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ
ΓΔ τετραγώνου ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ ΒΔ τετραγώνῳ.
καί ἐστι τετράγωνος ὁ ἐκ τῶν ΑΒ , ΒΓ ,
ἐπειδήπερ ἐδείχθη, ... δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι
πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, ὁ γενόμενος
τετράγωνός ἐστιν. εὕρηνται ἄρα δύο τετράγωνοι
ἀριθμοὶ ὅ τε ἐκ |
book 10, type Prop 1, number 29: ...
Ἐκκείσθω γάρ τις ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ δύο τετράγωνοι
ἀριθμοὶ οἱ ΓΔ , ΔΕ , ὥστε τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὸν ΓΕ
μὴ εἶναι τετράγωνον, καὶ γεγράφθω
ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ... πρὸς τὸν
ΓΕ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τετράγωνον
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ .
ἐπεὶ οὖν ... ΔΓ πρὸς
τὸν ΓΕ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς
ΑΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
ἀριθμόν: ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ |
book 10, type Prop 1, number 30: ... μήκει.
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ
οἱ ΓΕ , ΕΔ , ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΓΔ μὴ
εἶναι τετράγωνον, καὶ γεγράφθω
ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ... ΓΔ πρὸς τὸν
ΔΕ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
ἀριθμόν: οὐδ᾽ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς
ΒΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
ἀριθμόν: ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ |
book 10, type Prop 1, number 33: ... ἀσυμμέτρους ποιούσας τὸ
μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν,
τὸ δ᾽ ὑπ᾽ αὐτῶν μέσον.
Ἐκκείσθωσαν δύο... ἴσον παρὰ τὴν
ΑΒ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον
ἐλλεῖπον εἴδει
τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ , καὶ γεγράφθω
... αὐτῆς, ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβέβληται
παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ ποιεῖ τὸ
ὑπὸ τῶν ΑΕΒ , ἀσύμμετρος ἄρα... ἐδείχθη δὲ καὶ ῥητὸν τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν
ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων.
Εὕρηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ... ΖΒ ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν
τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ ὑπ᾽ αὐτῶν μέσον: ὅπερ ἔδει
δεῖξαι |
book 10, type Prop 1, number 34: ... δυνάμει ἀσυμμέτρους ποιούσας τὸ
μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων μέσον,
τὸ δ᾽ ὑπ᾽ αὐτῶν ῥητόν.
Ἐκκείσθωσαν δύο... τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἴσον παραλληλόγραμμον
ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΒ : ἀσύμμετρος
ἄρα ἐστὶν ... ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν
τετραγώνων μέσον, τὸ δ᾽ ὑπ᾽ αὐτῶν ῥητόν: ὅπερ ἔδει
δεῖξαι. |
book 10, type Prop 1, number 35: ... δυνάμει ἀσυμμέτρους ποιούσας τό
τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ
τὸ ὑπ᾽ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ
ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνῳ.
Ἐκκείσθωσαν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ
... μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ
συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων: ὅπερ ἔδει
δεῖξαι. |
book 10, type Prop 1, number 38: ... τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ
τῶν ΑΒ , ΒΓ τετραγώνων, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ σύμμετρόν
|
book 10, type Prop 1, number 39: ... ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι
τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων
ῥητόν, τὸ δ᾽ ὑπ᾽ αὐτῶν μέσον, ἡ ὅλη εὐθεῖα |
book 10, type Prop 1, number 40: ... ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι
τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων μέσον,
τὸ δ᾽ ὑπ᾽ αὐτῶν ῥητόν, ἡ ὅλη εὐθεῖα |
book 10, type Prop 1, number 41: ... ἀσύμμετροι συντεθῶσι
ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων
μέσον καὶ τὸ ὑπ᾽ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ
συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων, ἡ ὅλη εὐθεῖα
ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ δύο μέσα... τὸ
ΔΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ.
καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ
τῶν ἀπὸ |
book 10, type Prop 1, number 45: ... μὲν
συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τετραγώνων ῥητόν,
τὸ δ᾽ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ |
book 10, type Prop 1, number 47: ...
ΕΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ
τετραγώνῳ. πάλιν δὴ παραβεβλήσθω
παρὰ τὴν ΕΖ τοῖς
ἀπὸ |
book 10, type Prop 2, number 48: ... ΑΒ πρὸς μὲν τὸν ΒΓ λόγον
ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν,
πρὸς δὲ τὸν ΓΑ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς
πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ ἐκκείσθω τις ῥητὴ ἡ Δ ,
καὶ ... ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει,
ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ
τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν
τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν: ἀσύμμετρος
ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ |
book 10, type Prop 2, number 49: ... ΑΒ πρὸς μὲν τὸν ΒΓ λόγον
ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν,
πρὸς δὲ τὸν ΑΓ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν
τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
ἀριθμόν, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Δ , καὶ
τῇ ... ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν
τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ
ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος
ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ἀσύμμετρος
ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ |
book 10, type Prop 2, number 50: ... ΑΒ πρὸς μὲν τὸν ΒΓ λόγον
ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν,
πρὸς δὲ τὸν ΑΓ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς
πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ἐκκείσθω δέ τις καὶ ἄλλος
μὴ τετράγωνος ἀριθμὸς ὁ Δ , καὶ πρὸς ἑκάτερον τῶν
ΒΑ , ΑΓ λόγον μὴ ἐχέτω, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς
τετράγωνον ἀριθμόν: καὶ ἐκκείσθω τις ῥητὴ εὐθεῖα ἡ Ε ,
|
book 10, type Prop 2, number 51: ... λόγον μὴ ἔχειν μήτε μὴν πρὸς τὸν ΑΓ ,
ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. καὶ
ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Δ , καὶ τῇ... ΒΑ πρὸς
τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος
ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ
ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος
ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν: ἀσύμμετρος ἄρα
ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ... ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον
οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
ἀριθμόν: οὐδ᾽ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς |
book 10, type Prop 2, number 52: ... τὸν ΑΒ
πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος
ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ
ἐκκείσθω ῥητή τις εὐθεῖα ἡ Δ... ΓΑ πρὸς τὸν ΑΒ λόγον οὐκ
ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
ἀριθμόν: οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς
πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. αἱ ΕΖ , ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι
... ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον
οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
ἀριθμόν: οὐδ᾽ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς |
book 10, type Prop 2, number 53: ... τὸν ΑΒ
πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος
ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν: ἔστω δὲ καὶ ἕτερος
ἀριθμὸς ὁ Δ μὴ τετράγωνος ὢν μηδὲ πρὸς ἑκάτερον
τῶν ΒΑ , ΑΓ λόγον ἔχων, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς
τετράγωνον ἀριθμόν: καὶ ἐκκείσθω τις ῥητὴ εὐθεῖα
ἡ Ε , ... ἔχει ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ
λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς Ε ἄρα
πρὸς |
book 10, type Prop 2, number 54: ... ἴσον παρὰ τὴν μείζονα τὴν ΑΕ παραβληθῇ
ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ.
παραβεβλήσθω οὖν παρὰ τὴν ΑΕ... , ΖΛ : καὶ τῷ μὲν ΑΘ
παραλληλογράμμῳ ἴσον τετράγωνον συνεστάτω τὸ ΣΝ ,
τῷ δὲ ΗΚ ἴσον ... τῇ
ΝΟ . καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΣΠ παραλληλόγραμμον:
τετράγωνον ἄρα ἐστὶ τὸ ΣΠ . καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ... ὅλῳ
τῷ ΣΠ , τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΜΞ τετραγώνῳ: τὸ ΑΓ
ἄρα δύναται ἡ ΜΞ .
|
book 10, type Prop 2, number 55: ... ΕΖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΕ παραβεβλήσθω
ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗΕ :
σύμμετρος ἄρα ἡ ΑΗ... ,
ΖΛ , καὶ τῷ μὲν ΑΘ παραλληλογράμμῳ ἴσον τετράγωνον
συνεστάτω τὸ ΣΝ , τῷ δὲ ΗΚ ἴσον τετράγωνον
τὸ ΝΠ , καὶ κείσθω ὥστε ἐπ᾽ εὐθείας εἶναι... ΡΝ τῇ ΝΟ . καὶ
συμπεπληρώσθω τὸ ΣΠ τετράγωνον: φανερὸν δὴ ἐκ
τοῦ προδεδειγμένου, ὅτι τὸ ΜΡ |
book 10, type Prop 2, number 57: ... συντεθῶσι
ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν
τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ᾽ ὑπ᾽ αὐτῶν μέσον, ἡ ὅλη ἄλογός
|
book 10, type Prop 2, number 58: ... ἀσύμμετροί εἰσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον
ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δ᾽ ὑπ᾽
αὐτῶν ῥητόν.
ἡ |
book 10, type Prop 2, number 59: ... εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἄνισα, τὰ ἀπὸ τῶν
ἀνίσων τετράγωνα μείζονά ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ἀνίσων
περιεχομένου ὀρθογωνίου. |
book 10, type Prop 2, number 60: ... τῆς
ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον
εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ, ἡ
μείζων τῆς ἐλάσσονος |
book 10, type Prop 2, number 63: ... εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ
τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ ὑπ᾽ αὐτῶν
μέσον. ἐπεὶ οὖν ῥητόν...
ἐλάσσονος ἴσον παραλληλόγραμμον παρὰ τὴν μείζονα
παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς ἀσύμμετρα
αὐτὴν διαιρῇ, ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος |
book 10, type Prop 2, number 64: ... ἀσύμμετροι
ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν
τετραγώνων μέσον, τὸ δ᾽ ὑπ᾽ αὐτῶν ῥητόν. ἐπεὶ οὖν μέσον
|
book 10, type Prop 2, number 65: ... εἰσὶν ἀσύμμετροι
ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων
μέσον καὶ τὸ ὑπ᾽ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ ἐκ
τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων συγκείμενον τῷ ὑπ᾽ αὐτῶν:
ὥστε κατὰ τὰ προδεδειγμένα μέσον |
book 10, type Prop 2, number 68: ... εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ
τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ᾽ ὑπ᾽ αὐτῶν
μέσον: καὶ γεγονέτω τὰ ... ἀσύμμετροί εἰσι ποιοῦσαι τὸ
μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων ἅμα
ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπ᾽ αὐτῶν μέσον: ὅλη |
book 10, type Prop 2, number 69: ... εἰσὶν ἀσύμμετροι
ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν
τετραγώνων μέσον, τὸ δ᾽ ὑπ᾽ αὐτῶν ῥητόν:
καὶ τὰ αὐτὰ... συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ
τῶν ΓΖ , ΖΔ τετραγώνων ἐστὶ μέσον, τὸ δ᾽ ὑπὸ τῶν
ΓΖ , ΖΔ |
book 10, type Prop 2, number 70: ... ἀσύμμετροι ποιοῦσαι
τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων
μέσον καὶ τὸ ὑπ᾽ αὐτῶν μέσον καὶ
ἔτι ... τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ
τῶν ΑΕ , ΕΒ τετραγώνων τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕ ,
ΕΒ : καὶ κατεσκευάσθω ... τὸ
συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ τετραγώνων μέσον
ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ... τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ τετραγώνων
τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ .
|
book 10, type Prop 2, number 73: ...
σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τετράγωνα, τῷ δὲ
ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ σύμμετρόν |
book 10, type Prop 2, number 75: ... μήκει: ἀσύμμετρον ἄρα
καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ .
ἀλλὰ τῷ |
book 10, type Prop 2, number 76: ... συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ ,
ΒΓ τετραγώνων ῥητόν ἐστιν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , |
book 10, type Prop 2, number 77: ... τῆς ὅλης ποιοῦσα τὸ μὲν συγκείμενον
ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ δὶς
ὑπ᾽ αὐτῶν ῥητόν, ἡ λοιπὴ ... μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ ,
ΒΓ τετραγώνων μέσον ἐστίν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ ,
|
book 10, type Prop 2, number 78: ... τῆς ὅλης ποιοῦσα τό τε συγκείμενον
ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων μέσον τό τε δὶς ὑπ᾽
αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι τὰ ἀπ᾽ αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα
τῷ δὶς ὑπ᾽ αὐτῶν, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν... συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ
τετραγώνων μέσον ἐστὶ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΕ , μέσον
|
book 10, type Prop 2, number 80: ... ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ
τετραγώνων ὑπερέχει ῥητῷ: ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον: μέσα
γάρ ἐστιν ἀμφότερα |
book 10, type Prop 2, number 81: ... καὶ τὸ ΕΛ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ:
λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΙ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς |
book 10, type Prop 2, number 82: ... ποιοῦσα μετὰ τῆς ὅλης τὸ μὲν
ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπ᾽
αὐτῶν μέσον.
ἔστω... ἀσύμμετροι
ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων
ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπ᾽ αὐτῶν μέσον: λέγω, ὅτι
... ΓΒ , τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ ,
ΔΒ τετράγωνα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τετραγώνων
ὑπερέχει ῥητῷ: ῥητὰ γάρ ἐστιν ἀμφότερα: καὶ τὸ δὶς
... ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ καὶ ποιοῦσα τὰ μὲν ἀπ᾽ αὐτῶν
τετράγωνα ἅμα ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπ᾽ αὐτῶν μέσον: ὅπερ
|
book 10, type Prop 2, number 83: ... τῆς ὅλης ποιοῦσα τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾽
αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπ᾽ αὐτῶν ῥητόν.
ἔστω |
book 10, type Prop 2, number 84: ... τῆς ὅλης ποιοῦσα τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾽
αὐτῶν τετραγώνων μέσον τό τε δὶς ὑπ᾽ αὐτῶν μέσον καὶ
ἔτι... ποιούσας τά
τε ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τετράγωνα
ἅμα μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ... ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τά τε
ἀπ᾽ αὐτῶν τετράγωνα ἅμα μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπ᾽ αὐτῶν
μέσον καὶ ἔτι τὰ ἀπ᾽ αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα τῷ
δὶς ὑπ᾽ αὐτῶν: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. |
book 10, type Prop 3, number 85: ... ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ . καὶ ἐκκείσθωσαν δύο
τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΔΕ , ΕΖ , ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ΖΔ
μὴ ἔστω τετράγωνος: οὐδ᾽ ἄρα ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον
ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ , οὕτως τὸ ἀπὸ
τῆς ΒΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ τετράγωνον:
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τῷ ... ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ
λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
ἀριθμόν, οὐδ᾽ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς |
book 10, type Prop 3, number 86: ... .
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ . καὶ ἐκκείσθωσαν δύο τετράγωνοι
ἀριθμοὶ οἱ ΔΕ , ΕΖ , ὧν ἡ ὑπεροχὴ ... πρὸς τὸν ΔΕ , οὕτως τὸ
ἀπὸ τῆς ΓΗ τετράγωνον πρὸς
τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ τετράγωνον.
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ
τῆς ΓΗ τετράγωνον τῷ ἀπὸ
τῆς ΗΒ τετραγώνῳ. ῥητὸν δὲ
τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ . ῥητὸν ἄρα ... ἡ ΒΗ . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ τετράγωνον
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος
ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀσύμμετρός
ἐστιν ἡ ΓΗ |
book 10, type Prop 3, number 87: ... ΒΓ , ΓΔ λόγον μὴ ἔχοντες πρὸς ἀλλήλους, ὃν
τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ὁ δὲ
ΓΒ πρὸς τὸν ΒΔ λόγον ἐχέτω, ὃν
τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
ἀριθμόν, καὶ πεποιήσθω
ὡς μὲν ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ , οὕτως
τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς
τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον, ὡς
δὲ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ , οὕτως
τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον πρὸς
τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν |
book 10, type Prop 3, number 88: ... τῶν ΔΖ ,
ΕΖ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
ἀριθμόν. καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ , οὕτως
τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ .
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ ... ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ λόγον
οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
ἀριθμόν, οὐδ᾽ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ
λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
ἀριθμόν: ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ |
book 10, type Prop 3, number 89: ... τῶν ΔΖ , ΖΕ λόγον πάλιν μὴ
ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
ἀριθμόν: καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΖΕ
πρὸς τὸν ... ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος
ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ᾽ ἄρα τὸ
ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος
ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν: ἀσύμμετρος ἄρα
ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ... ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ
λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
ἀριθμόν: οὐδ᾽ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς |
book 10, type Prop 3, number 90: ... ΒΓ , ΓΔ
λόγον μὴ ἔχοντες πρὸς ἀλλήλους, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς
πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν: ἔτι δὲ καὶ ὁ ΓΒ πρὸς τὸν
ΒΔ λόγον μὴ ἐχέτω, ὃν τετράγωνος
ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
ἀριθμόν: καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν
ὁ Ε πρὸς... Ε
πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς
τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ᾽ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ
τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον
ἀριθμόν: ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ |
book 10, type Prop 3, number 91: ... ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ
παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα
αὐτὴν διαιρεῖ. τετμήσθω ἡ ΔΗ δίχα ... ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον
εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΖΗ : ... ἐστίν.
κείσθω δὴ τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ , τῷ
δὲ ΖΚ ἴσον τετράγωνον ἀφῃρήσθω κοινὴν γωνίαν ἔχον
αὐτῷ τὴν ὑπὸ ΛΟΜ ... τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν
ἐστι τὰ ΛΜ , ΝΞ τετράγωνα. ἔστω αὐτῶν διάμετρος
ἡ ΟΡ , καὶ καταγεγράφθω τὸ ... , ΖΗ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τῷ ἀπὸ
τῆς ΕΗ τετραγώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ... καί
ἐστι τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ τετραγώνῳ ἴσον, τὸ δὲ ΚΖ τῷ
ΝΞ : καὶ |
book 10, type Prop 3, number 92: ... ΗΔ ἴσον παρὰ τὴν
ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα
αὐτὴν διαιρεῖ. τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ ... ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω
ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΖΗ :
... ἐστιν.
συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ ,
τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω ... τὴν αὐτὴν ἄρα ἐστὶ
διάμετρον τὰ ΛΜ , ΝΞ τετράγωνα. ἔστω αὐτῶν διάμετρος
ἡ ΟΡ , καὶ καταγεγράφθω τὸ ... ΕΚ . ἔστι δὲ
καὶ τῶν ΛΜ , ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ :
καί ἐστιν ἴσον τὸ |
book 10, type Prop 3, number 93: ... ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν
ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα
αὐτὴν διελεῖ. τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ ... ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω
ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ ,
ΖΗ . ... ΕΚ .
συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ , τῷ
δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω ... ΕΚ . ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ , ΝΞ
τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ : καί ἐστιν ἴσον τὸ
... ἐστὶ τῷ ΣΤ ,
τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΛΝ τετραγώνῳ: ἡ ΛΝ ἄρα δύναται
τὸ ΑΒ χωρίον |
book 10, type Prop 3, number 94: ... ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ
ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ,
εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν
διελεῖ. τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ... ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον
εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΖΗ :
... τῷ ΖΚ . συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον
τὸ ΛΜ , τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω ... τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν
ἐστι τὰ ΛΜ , ΝΞ τετράγωνα. ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ
ΟΡ , καὶ καταγεγράφθω τὸ ... ΕΚ .
ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ , ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ
ΜΝ , καί ἐστιν ἴσον τὸ ... τὸ ΑΚ ἴσον ἐστὶ τοῖς ΛΜ , ΝΞ τετραγώνοις, ὧν
τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ τετραγώνῳ,
λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ |
book 10, type Prop 3, number 95: ... ΔΗ ἴσον
παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ
ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς
ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ. τετμήσθω
οὖν ἡ ΔΗ ... ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω
ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν
ΑΖ , ΖΗ : ... τὸ
ΔΚ . συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ ,
τῷ δὲ ΖΚ ἴσον τετράγωνον ἀφῃρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν
αὐτὴν γωνίαν τὴν... τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν
ἐστι τὰ ΛΜ , ΝΞ τετράγωνα. ἔστω αὐτῶν
διάμετρος ἡ ΟΡ , καὶ καταγεγράφθω τὸ ... εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ
μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων μέσον,
τὸ δὲ δὶς ὑπ᾽ αὐτῶν ῥητόν. ἡ λοιπὴ |
book 10, type Prop 3, number 96: ... ΔΗ ἴσον
παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ,
εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ. τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ ... ΕΗ ἴσον παρὰ
τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ
ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΖΗ : ... τῷ ΚΔ . συνεστάτω οὖν τῷ
μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ , τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω
... τὴν αὐτὴν ἄρα
διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ , ΝΞ τετράγωνα. ἔστω αὐτῶν
διάμετρος ἡ ΟΡ , καὶ καταγεγράφθω τὸ ... ἐστὶ καὶ τὰ
ἀπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ τετράγωνα τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ .
καὶ ... εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον
ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπ᾽
αὐτῶν μέσον ἔτι τε τὰ ἀπ᾽ αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα
τῷ δὶς ὑπ᾽ αὐτῶν. ἡ ἄρα ΛΝ |
book 10, type Prop 3, number 97: ... ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται
ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ , ΚΜ , καί ἐστι
|
book 10, type Prop 3, number 98: ... . καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ
τῶν ΑΗ , ΗΒ τετραγώνων μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ
τῶν ΑΗ , ΗΒ... παρὰ τὴν μείζονα τὴν ΓΜ
παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν
ΓΚ , ΚΜ καὶ εἰς |
book 10, type Prop 3, number 99: ... ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται
ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν
διαιρεῖ, ἡ ΓΜ ἄρα |
book 10, type Prop 3, number 100: ... συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ ,
ΗΒ τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ
δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ... ΜΖ
ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ
τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ , ΚΜ καὶ εἰς |
book 10, type Prop 3, number 101: ... ποιοῦσαι τὸ
μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν
τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ
δὶς ὑπ᾽ αὐτῶν ῥητόν. καὶ τῷ
... ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει
τετραγώνῳ καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ἄρα ΓΜ
|
book 10, type Prop 3, number 102: ... εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον
ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων
μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν
ΑΗ |
book 10, type Prop 3, number 105: ... τὸ
συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ τετραγώνων τῷ
συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ τετραγώνων. ῥητὸν
δέ ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ τετραγώνων:
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ
τῶν ΓΖ , ΖΔ τετραγώνων. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ
τῆς ΑΕ ... , ΖΔ , σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς
ΑΕ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ τετραγώνῳ, σύμμετρον
ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ... ἀσύμμετροι
ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν
τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ᾽ ὑπ᾽ αὐτῶν μέσον.
ἐλάσσων ἄρα |
book 10, type Prop 3, number 106: ... μὲν συγκείμενον
ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ τετραγώνων μέσον, τὸ δ᾽
ὑπ᾽ αὐτῶν ῥητόν. καὶ τὰ αὐτὰ... τὸ συγκείμενον ἐκ
τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ
ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ τετραγώνων,
τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ τῷ... μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ
τῶν ΓΖ , ΖΔ τετραγώνων μέσον, τὸ δ᾽ ὑπ᾽ αὐτῶν
ῥητόν.
ἡ |
book 10, type Prop 3, number 107: ... ἀσύμμετροι
ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν
ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπ᾽
αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον
ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων τῷ ὑπ᾽
αὐτῶν. καί εἰσιν, ὡς ἐδείχθη, αἱ ΑΕ... τὸ συγκείμενον ἐκ
τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ
ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ , ... εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι
τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων μέσον
καὶ τὸ ὑπ᾽ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον
ἐκ τῶν ἀπ᾽ αὐτῶν τετραγώνων τῷ ὑπ᾽
αὐτῶν.
ἡ ΓΔ ἄρα |
book 11, type Def, number 25: κύβος ἐστὶ σχῆμα στερεὸν ὑπὸ ἓξ τετραγώνων
ἴσων περιεχόμενον. |
book 11, type Prop, number 23: ... , καὶ ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ
τετράγωνον τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ , ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ |
book 12, type Prop, number 1: ... ὅμοια πολύγωνα πρὸς ἄλληλά ἐστιν
ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα.
ἔστωσαν κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΖΗΘ , καὶ... : λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ
ἀπὸ τῆς ΒΜ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΝ τετράγωνον,
οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ
... λόγου
διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΜ τετραγώνου πρὸς τὸ
ἀπὸ τῆς ΗΝ τετράγωνον, τοῦ δὲ τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΗΖ
... πολύγωνον: καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΜ τετράγωνον
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΝ τετράγωνον, οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ
πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ |
book 12, type Prop, number 2: ... οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων
τετράγωνα.
ἔστωσαν κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ , διάμετροι... τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ
τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον.
εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς ὁ ΑΒΓΔ ... πρὸς τὸν ΕΖΗΘ ,
οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ ,
ἔσται ὡς τὸ ... τὸ Σ .
καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ
ΕΖΗΘ : τὸ δὴ ἐγγεγραμμένον τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν
ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ... εὐθείας τοῦ κύκλου
ἀγάγωμεν, τοῦ περιγραφομένου περὶ τὸν κύκλον τετραγώνου
ἥμισύ ἐστι τὸ ΕΖΗΘ τετράγωνον, τοῦ δὲ περιγραφέντος
|
book 12, type Prop, number 10: ... ἢ τριπλασίων,
καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον
τὸ ΑΒΓΔ : τὸ δὴ ΑΒΓΔ τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ
ἥμισυ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ
τετραγώνου πρίσμα ἰσουψὲς
τῷ κυλίνδρῳ. τὸ δὴ
ἀνιστάμενον πρίσμα... ἥμισυ τοῦ
κυλίνδρου, ἐπειδήπερ κἂν
περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον
τετράγωνον περιγράψωμεν,
τὸ ἐγγεγραμμένον
εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον
ἥμισύ ἐστι τοῦ
περιγεγραμμένου: καί ἐστι
τὰ ἀπ᾽ αὐτῶν ... ὡς αἱ βάσεις: καὶ τὸ ἐπὶ τοῦ
ΑΒΓΔ ἄρα τετραγώνου ἀνασταθὲν πρίσμα ἥμισύ ἐστι
τοῦ ἀνασταθέντος πρίσματος ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν ΑΒΓΔ
κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου: καί ἐστιν ὁ κύλινδρος
ἐλάττων τοῦ πρίσματος τοῦ ἀνασταθέντος |
book 12, type Prop, number 11: ... , Ψ στερεοῖς. ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘ
κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ : τὸ ἄρα τετράγωνον μεῖζόν
ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κύκλου. ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΕΖ
ΗΘ τετραγώνου πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ: ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα
πυραμὶς μείζων ... τὸ ἥμισυ τοῦ κώνου,
ἐπειδήπερ ἐὰν περιγράψωμεν περὶ τὸν κύκλον τετράγωνον,
καὶ ἀπ᾽ αὐτοῦ ἀναστήσωμεν πυραμίδα ἰσοϋψῆ τῷ
κώνῳ, ἡ |
book 12, type Prop, number 12: ... Ξ , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν
ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ : τὸ ἄρα ΕΖΗΘ
τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου.
καὶ ἀνεστάτω ἐπὶ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου πυραμὶς τὴν
αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ: ἡ ἄρα |
book 12, type Prop, number 17: ... ΔΩ , ΩΒ , ἀναγραφομένου ἀπὸ τῆς ΒΩ
τετραγώνου καὶ συμπληρουμένου τοῦ ἐπὶ τῆς ΩΔ παραλληλογράμμου
καὶ |
book 13, type Prop, number 1: ... τὴν ἡμίσειαν τῆς ὅλης πενταπλάσιον
δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου.
εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ...
ἀναγεγράφθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν
ΑΒ , ΔΓ τετράγωνα τὰ ΑΕ , ΔΖ ,
καὶ καταγεγράφθω ἐν τῷ ... τῷ ΘΖ ἴσον: ὅλον ἄρα τὸ ΑΕ τετράγωνον ἴσον
ἐστὶ τῷ ΜΝΞ γνώμονι. καὶ ἐπεὶ διπλῆ... τὴν ἡμίσειαν τῆς ὅλης πενταπλάσιον
δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου: ὅπερ ἔδει
δεῖξαι. |
book 13, type Prop, number 2: ...
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀφ᾽ ἑκατέρας τῶν ΑΒ , ΓΔ τετράγωνα
τὰ ΑΖ , ΓΗ , καὶ καταγεγράφθω ἐν τῷ |
book 13, type Prop, number 3: ... τμήματος
πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τοῦ
μείζονος τμήματος τετραγώνου.
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ... ΔΓ .
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΕ ,
καὶ καταγεγράφθω διπλοῦν τὸ σχῆμα. ἐπεὶ... ΘΚ τῇ ΚΖ . ὥστε καὶ τὸ ΗΖ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΘΛ
τετραγώνῳ. ἴση ἄρα ἡ ΗΚ τῇ ΚΛ , τουτέστιν ... ὁ
ΞΟΠ ἄρα γνώμων τετραπλάσιός
ἐστι τοῦ ΖΗ τετραγώνου.
ὁ ΞΟΠ ἄρα γνώμων
καὶ τὸ ΖΗ τετράγωνον πενταπλάσιός
ἐστι τοῦ ΖΗ . ἀλλὰ ὁ ΞΟΠ γνώμων καὶ τὸ
ΖΗ τετράγωνόν ἐστι τὸ ΔΝ . καί ἐστι τὸ μὲν ΔΝ |
book 13, type Prop, number 4: ... τὸ
ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἐλάσσονος τμήματος, τὰ συναμφότερα
τετράγωνα, τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τοῦ μείζονος
τμήματος τετραγώνου.
ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ , καὶ τετμήσθω ἄκρον... ΓΑ .
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ ,
καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ οὖν ... ὁ ΛΜΝ γνώμων ἐστὶ
καὶ τὸ ΓΚ τετράγωνον: ὁ ἄρα ΛΜΝ γνώμων καὶ τὸ ΓΚ
τετράγωνον διπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΚ . ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ ... : ὁ ἄρα ΛΜΝ γνώμων καὶ τὸ ΓΚ
τετράγωνον διπλάσιά ἐστι τοῦ ΘΗ : ὥστε ὁ ΛΜΝ γνώμων
καὶ τὰ ΓΚ , ΘΗ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ΘΗ
τετραγώνου. καί ἐστιν ὁ |
book 13, type Prop, number 6: ... πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος
ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀσύμμετρος ἄρα μήκει
ἡ ΓΔ τῇ ΔΑ |
book 13, type Prop, number 11: ...
πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΜ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς
πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν: ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ
τῇ ... λόγον ἔχει, ὃν ε πρὸς δ , οὐχ ὃν τετράγωνος
πρὸς τετράγωνον: ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ Ν : |
book 13, type Prop, number 13: ... ἐπεζεύχθω
ἡ ΔΒ , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον
τὸ ΕΓ , καὶ συμπεπληρώσθω
τὸ ΖΒ |
book 13, type Prop, number 14: ... ἡ ΓΔ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ ,
καὶ ἐκκείσθω τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ
ἴσην ἔχον ἑκάστην τῶν πλευρῶν τῇ
... ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Κ σημείου τῷ
τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου ἐπιπέδῳ πρὸς
ὀρθὰς εὐθεῖα ἡ ΚΛ καὶ διήχθω ... λοιπῶν
τριγώνων, ὧν βάσεις μέν εἰσιν αἱ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου
πλευραί, κορυφαὶ δὲ τὰ Λ , Μ σημεῖα, |
book 13, type Prop, number 15: ... ἡ ΓΔ , καὶ ἐπεζεύχθω
ἡ ΔΒ , καὶ ἐκκείσθω τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ ἴσην ἔχον
τὴν πλευρὰν τῇ ΔΒ... Ζ , Η , Θ τῷ τοῦ
ΕΖΗΘ τετραγώνου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ
ΕΚ , ΖΛ , ... ΝΚ : κύβος ἄρα συνέσταται ὁ ΖΝ ὑπὸ ἓξ
τετραγώνων ἴσων περιεχόμενος. δεῖ δὴ αὐτὸν καὶ σφαίρᾳ
περιλαβεῖν τῇ |
book 13, type Prop, number 17: ... ΣΦ : τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ , ΣΦ τετράγωνα
τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΒ : ὥστε τὰ |
book 13, type Prop, number 18: ... πλειόνων
ἢ ἓξ γωνιῶν ἐπιπέδων στερεὰ γωνία συνίσταται. ὑπὸ
δὲ τετραγώνων τριῶν ἡ τοῦ κύβου γωνία περιέχεται: ὑπὸ
δὲ τεσσάρων |
|
|